Maquetería 02: Poliedros, cuerpos redondos y su construcción

Concepto de Poliedro

Definiremos como “poliedro” a un cuerpo geométrico tridimensional que encierra un espacio limitado. La palabra proviene de la palabra griega polyedron que literalmente significa “muchas caras”.

Los poliedros son en esencia formas 3D que están compuestos de varios polígonos los cuales son las llamadas caras de este. Por definición, las caras de un poliedro son siempre planas. Por esto mismo, los conos o cilindros NO son poliedros sino que son llamados “cuerpos redondos”.

Los componentes de un poliedro son:

Layout1Donde tenemos lo siguiente:

 Caras: son los planos de los polígonos que conforman el poliedro.

 Aristas: son los segmentos que cortan las caras del poliedro.

 Vértices: son los puntos donde se intersecan o cortan las aristas del poliedro.

Al igual que en el caso de los polígonos, los poliedros pueden ser cóncavos o convexos. Serán convexos si todas las caras pueden “apoyarse” en el plano horizontal (debido a sus ángulos convexos) y si alguna no lo hace, el poliedro será cóncavo.

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Poliedro Cóncavo

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Poliedro Convexo

Tipos de Poliedros

 Los tipos de poliedros son los siguientes:

Prismas: un prisma es un tipo de poliedro en el cual se cumplen las siguientes relaciones:

a) tener dos caras basales paralelas con polígonos iguales.

b) tener tantas caras laterales de tipo paralelogramo, como aristas tenga este polígono.

A los prismas se les clasifica según el número de lados que tengan las caras basales, por lo tanto podremos clasificarlos según el siguiente criterio:

023_poliedros

Los prismas pueden ser regulares, si sus polígonos basales están conformados por polígonos de tipo regular (imagen de arriba), o irregulares si sus bases son polígonos irregulares.

Otra característica importante de los prismas es que además poseen una altura. Si esta coincide con las aristas laterales del prisma entonces este será un prisma recto, en caso contrario será un prisma oblicuo, de acuerdo a la imagen de abajo:

024_poliedrosDesarrollo 2D de Prismas

Todos los prismas tienen la particularidad de ser “desarrollables”, es decir, que todas sus caras pueden representarse en un plano bidimensional y mediante plegados puede ser construido de forma tridimensional. El desarrollo de un prisma recto es bastante simple ya que está compuesto por sus caras basales y un rectángulo que tiene por medida la cantidad de divisiones de las caras laterales. La imagen de abajo ilustra el desarrollo de tres tipos de prismas regulares:

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En el caso del desarrollo de un prisma oblicuo, este dependerá del grado de inclinación y de las caras rectas visibles, aunque en el caso que la inclinación sea hacia un solo lado debemos repetir la cara oblicua mediante un “efecto espejo”.

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Prismas Paralelepípedos

Un paralelepípedo es un prisma en el cual todas sus caras son paralelógramos (caras opuestas iguales y paralelas). Como todos los prismas, pueden ser rectos u oblicuos y siempre son prismas cuadrangulares.

Los paralelepípedos son los siguientes:

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En el caso del Ortoedro, sus caras son rectángulos.
En el caso del Cubo, sus caras son cuadrados.
En el caso del Romboedro, sus caras son rombos.
En el caso del Romboiedro, sus caras son romboides.

Pirámides

Una pirámide es un tipo de poliedro en el cual se cumplen las siguientes relaciones:

a) tener una base la cual es un polígono.

b) tener tantas caras triangulares como lados tenga la base.

El punto donde convergen las caras triangulares se denomina cúspide. Las pirámides pueden ser cóncavas o convexas dependiendo del tipo de polígono de su base.

Al igual que en el caso de los prismas, las pirámides poseen altura la cual se define desde el vértice a la base. Sin embargo la altura dependerá del centro de gravedad del polígono base. Si la altura no coincide con este la pirámide será oblicua. Si el centro coincide con la altura la pirámide será recta.

028_poliedrosPirámides regulares

Una pirámide es regular si todas las caras laterales son iguales, formadas por triángulos isósceles.

Layout1

La altura de cada una de estas caras es denominada apotema. Podremos calcularla mediante el teorema de Pitágoras, usando la medida del punto medio de la base del triángulo hasta el centro y la altura de la pirámide como catetos, de acuerdo a la siguiente fórmula:

C2 = a2 + b2

Desarrollo 2D de Pirámides

Al igual que en el caso de los prismas, todas las pirámides tienen la particularidad de ser “desarrollables”, es decir, que todas sus caras pueden representarse en un plano bidimensional y mediante plegados puede ser construido de forma tridimensional.

El desarrollo de una pirámide recta está compuesto por su base y las proyecciones de los triángulos isósceles de las caras laterales, unidas por sus aristas mayores.

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Desarrollo de una pirámide de bases Hexagonal y Rectangular

Poliedros regulares

Un Poliedro es regular si todas sus caras son iguales. También son conocidos como “sólidos platónicos” ya que en la antigua Grecia fueron estudiados por Platón.

Sólo existen 5 poliedros regulares los cuales son:

Layout1Tetraedro, pirámide formada por triángulos equiláteros.
Cubo, paralelepípedo formado por cuadrados.
Octaedro, formado por ocho triángulos equiláteros.
Dodecaedro, formado por doce pentágonos regulares.
Icosaedro, formado por veinte triángulos equiláteros.

Desarrollo 2D de poliedros regulares

al igual que en los casos snteriores, todas los poliedros regulares tienen la particularidad de ser “desarrollables”, es decir, que todas sus caras pueden representarse en un plano bidimensional y mediante plegados puede ser construido de forma tridimensional.  A continuación se muestra el desarrollo de los 5 poliedros ya mencionados.

Desarrollo de un Tetraedro:

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Desarrollo de un Cubo:

034_poliedros

Desarrollo de un Octaedro:

035_poliedros

Desarrollo de un Dodecaedro:

032_poliedros

Desarrollo de un Icosaedro:

033_poliedros

Cuerpos redondos

Definiremos como “cuerpo redondo” a un cuerpo geométrico tridimensional que posee al menos una cara cuya superficie es curva. Estos cuerpos suelen ser generados mediante las rotaciones de sus caras en torno a un eje determinado.

Los cuerpos redondos típicos son los siguientes:

037_cuerpos_redondosEl cilindro

Un cilindro es un cuerpo redondo que se genera a partir de la rotación de un rectángulo en torno a uno de sus lados el cual es a su vez el eje de revolución. Los tres lados restantes del rectángulo son la generatriz de este.

En el cilindro distinguimos la superficie curva como superficie lateral y posee dos bases paralelas formadas por un círculo en la parte superior e inferior. Ambas bases son exactamente iguales.

En un cilindro recto podremos distinguir la altura la cual será la distancia entre las dos bases, y que coincide con la Generatriz.

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Al igual que en el caso de los prismas y las pirámides, los cilindros pueden ser rectos u oblicuos.

Desarrollo 2D del cilindro recto

Los cilindros tienen la particularidad de ser “desarrollables”, es decir, que todas sus caras pueden representarse en un plano bidimensional y mediante plegados puede ser construido en el espacio 3D.

En el desarrollo 2D del cilindro, la bases serán círculos iguales y la superficie curva será lograda a partir de un rectángulo el cual tendrá por altura la Generatriz y cuyo largo será el perímetro de uno de los círculos de las bases el cual se calcula con la conocida fórmula de cálculo de perímetro:

L = 2 x ? x R

Layout1El cono

Un cono es un cuerpo redondo que se genera a partir de la rotación de una recta inclinada la cual se intersecta con el eje de revolución y siguiendo a una base redonda  como directriz.

En el cono distinguimos la superficie curva como superficie lateral y la base, formada por un círculo. El punto donde convergen todas las generatrices se conoce como vértice.

En un cono recto podremos distinguir la altura la cual será la distancia entre el vértice y la base, y que coincidirá con el eje de revolución.

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Al igual que en el caso de los prismas y las pirámides, los cilindros pueden ser rectos u oblicuos.

Desarrollo 2D del cono recto

Los conos tienen la particularidad de ser “desarrollables”, es decir, que todas sus caras pueden representarse en un plano bidimensional y mediante plegados puede ser construido de forma tridimensional.

En el desarrollo 2D del cono, la base será un círculo y la superficie curva será lograda a partir de un sector circular con el radio de la generatriz, y la sección será determinada por la longitud del arco o perímetro de la directriz mediante la conocida fórmula de cálculo de perímetro:

L = 2 x ? x R

Para calcular el ángulo del sector circular del desarrollo (y así poder dibujarlo) debemos usar la siguiente fórmula:

A° = Radio de la base / Generatriz x 360°

039_cuerpos_redondosLa esfera

La esfera es un cuerpo redondo que se genera a partir de la rotación de un semicírculo en torno a un eje de revolución el cual es a la vez el diámetro de este. En este caso, el diámetro es el eje y el semicírculo la Generatriz.

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Este cuerpo redondo es el único que no puede desarrollarse en el plano 2D ya que todo su volumen es curvo.

Ejercicios propuestos

Construir en cartón forrado los siguientes poliedros, tomando medidas arbitrarias:

 – El cubo.
– El tetraedro.
– El Octaedro.
– El dodecaedro.
– El Icosaedro.
– El Cilindro.
– El Cono.
– Un prisma de Base Hexagonal.
– Una pirámide de base Pentagonal.

Solución: primero debemos dibujar los polígonos necesarios según las técnicas de dibujo vistas en el apunte sobre polígonosLuego estos polígonos deberán ser recortados para ser ocupados como molde para dibujar el desarrollo de los poliedros en el cartón.

GUIA01_01

Finalmente recortamos los moldes y plegamos las aristas para pegarlas y construir las formas. NOTA: debemos considerar pestañas extras para poder pegar las aristas.

Para el caso de los cuerpos redondos bastará dibujar directamente los desarrollos en el cartón. En el caso del cilindro se deberán dibujar líneas verticales paralelas a la altura de modo que se puedan doblar para formar el cuerpo de este, el cono será ejecutado de manera similar pero las líneas serán radiales a igual distancia y partirán desde la cúspide hasta la base.

poliedros

Debemos recordar que dominar la construcción de poliedros y cuerpos redondos es fundamental para el desarrollo de estructuras y formas 3D en maquetería.

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