Dibujo Técnico: La escala gráfica

07/03/201928/09/2019 Carlos González L.

Podemos definir una escala gráfica como las dimensiones reales de un objeto que son expresadas mediante un instrumento graduado (generalmente una regla o reglilla) el cual se coloca en el dibujo o plano con el fin de apreciar directamente las dimensiones del objeto en la realidad, sin necesidad de tener que calcular la escala mediante operaciones matemáticas. La gran ventaja de una escala gráfica por sobre una tradicional es que siempre conservaremos la proporción entre las dimensiones del dibujo en el plano y sus medidas reales, en el caso que debamos o queramos ampliar o reducir el tamaño del plano original. La escala tradicional o numérica en cambio, es la razón de ampliación/reducción de la medida real respecto a la del dibujo, y se expresa mediante valores como 1:100, 1:50, etc.

La mejor forma de determinar una escala gráfica de manera más o menos sencilla (expresando tanto su dimensión real como su dimensión en el dibujo) es utilizando dos rectas que formen un ángulo agudo arbitrario. La primera de ellas es donde se determinará la dimensión real mientras que en la segunda tendremos la dimensión que se definirá en el dibujo. Lo que haremos a continuación es definir el la magnitud en la realidad y luego su equivalencia en el dibujo, para finalmente unir los extremos de estas y formar un triángulo, tal como se aprecia en el ejemplo siguiente:

Representación gráfica de la escala 1:5. En este caso la escala representa 5 cms en la realidad equivalentes a 1 cm en el dibujo.

Si queremos determinar otras magnitudes en la misma escala gráfica, podremos utilizar el teorema de Thales de triángulos semejantes para obtener las siguientes dimensiones ya que nos bastará colocar la medida real en la recta respectiva y luego trazar la paralela de la línea resultante hacia la recta del dibujo, como se ilustra en la imagen siguiente:

En el ejemplo, se calcula mediante el teorema de Thales la representación en el dibujo que tendrían 10 cms reales, dándonos como resultado 2 cms en el dibujo. En este ejemplo, la ecuación sería la siguiente:

1 = 5 => X = 2
X 10

Notaremos que en los ejemplos anteriores tenemos una recta opuesta en la cual se ha hecho una división mediante paralelas utilizando el ya clásico teorema de Thales. Esto lo definiremos como contraescala la cual representa la unidad de la escala gráfica divida por diez o lo más común, la medida total que va entre “0” y “1”, y que se denomina así porque se dibuja en el sentido contrario al “0”. Esto se puede representar de la siguiente manera gracias al teorema de Thales:

A raíz de estas operaciones entre rectas y dimensiones obtendremos una recta la cual puede expresarse mediante una reglilla o Escala gráfica, la cual podremos representar en los planos para indicar las dimensiones reales del proyecto sin necesidad de utilizar el escalímetro, tal como se aprecia en el siguiente ejemplo:

Representación de las escalas gráficas

Las escalas gráficas se representan, en la mayoría de los casos, mediante una “reglilla” que se expresa mediante rectángulos adyacentes con medidas que representarán los metros o centímetros, milímetros o alguna otra medida que se use para definir el objeto o plano según sea el caso. Para facilitar su lectura se suelen contrastar la mitad de sus cuadros pintándolos de negro.

La característica más importante de este tipo de escalas es el hecho que siempre están moduladas según el primer valor, y la ampliación o reducción de la escala variará en la cantidad de “divisiones” o decenas, centenas, millares, etc que utilicemos. En la siguiente imagen vemos distintas escalas de Arquitectura representadas mediante escalas gráficas, donde notamos que la medida base de todas ellas es 10 mm (1 cm) la cual tendrá distintas equivalencias dependiendo de la escala que utilicemos.

En el ejemplo notaremos que en la escala 1:100 tenemos 1 cm=1 mt, lo cual coincide con la medida base de 10 mm. En 1:50 en cambio, tendremos 1 cm=0,5 mts (medio metro) mientras que en escalas más pequeñas como 1:500 tendremos 1 cm=5 mts.

Como ya se había mencionado antes, si colocamos esta escala gráfica sobre el plano podremos calcular de forma directa la distancia real existente entre dos puntos de este. Como norma general y en lo posible, en una escala gráfica se deben colocar las dimensiones de la unidad real en la que se está trabajando el plano e indicar la unidad de trabajo de esta, usualmente colocado en la última cifra de la reglilla.

En la imagen siguiente vemos distintos tipos de representación de escalas gráficas que podremos utilizar para nuestros planos. Para facilitar la lectura podemos aumentar el intervalo a medida que la dimensión sea mayor, siempre y cuando conservemos la medida base entre 0 y 1 y respetemos la modulación de esta para nuestra escala gráfica.

Lectura del escalímetro

Gracias al concepto de escala gráfica podremos leer sin problemas el escalímetro ya que este instrumento utiliza el mismo principio de la medida base. Como ya sabemos, un escalímetro es una regla graduada que posee generalmente de 6 a 12 escalas diferentes que pueden ser leídas de forma directa puesto que este posee las equivalencias ya resueltas.

Estas escalas pueden identificarse mediante diferentes colores en el escalímetro, de acuerdo con la siguiente imagen:

Los colores identifican las siguientes escalas:

Rojo: 1:75, 1:750, 1:125, 1:1250.

Amarillo: 1:20, 1:200, 1:10, 1:100.

Verde: 1:50, 1:500, 1:25, 1:250.

Para leer el escalímetro bastará con leer la medida correspondiente en cada escala, ya que por defecto la graduación se encuentra en mts o cms dependiendo de la escala en la que trabajamos. En la imagen siguiente podremos ver un ejemplo de lectura en distintas escalas utilizando una medida base de 40 mm (4 cms), y su equivalencia en el escalímetro:

En el ejemplo se lee el escalímetro en escalas 1:50, 1:500, 1:10, 1:100, 1:20, 1:200, 1:25 y 1:250. Notamos que en escala 1:50 los 4 cms se leen como 2 mts, mientras que en 1:500 equivaldrán a 20 mts usando la misma medida. También notamos que en el caso de escalas mayores como 1:10, 1:20 y 1:25, los valores numéricos están expresados en cms en lugar de mts.

Este es el final de este apunte.

Dibujo Técnico: Trazados geométricos fundamentales parte 3, enlaces

24/04/201828/09/2019 Carlos González L.

Definición de enlace

Se define como enlace a la unión armónica entre dos líneas de cualquier tipo (curvas o rectas) de tal forma que se forme una línea continua. En el caso de los enlaces, estos se deben realizar mediante puntos de tangencia o de enlace para que estos funcionen de forma correcta. Los tres tipos de enlace que existen son:

– Enlace entre dos rectas.
– Enlace entre una curva y una recta.
– enlace entre dos curvas.

En esta tercera parte de los trazados fundamentales realizaremos mediante instrumentos los enlaces típicos que debemos dominar al iniciar el dibujo técnico de cualquier pieza, vista o proyecto de forma manual aunque también es válido para el dibujo en AutoCAD y/o práctica.

Las operaciones principales que realizaremos en esta oportunidad son:

1) Enlace entre dos rectas paralelas.
2) Enlace entre dos rectas perpendiculares.
3) Enlace entre dos rectas no paralelas.
4) Enlace entre una recta y una curva.
5) Enlace entre dos curvas.

1) Enlazar dos rectas paralelas

Sean dos rectas paralelas dadas:

Unimos en un segmento los extremos de las paralelas (puntos A y B) y realizamos la simetral de este, obteniendo el punto central m.

Tomando como centro el punto m recién creado, y usando como radio Am, trazamos la semicircunferencia para lograr el enlace pedido.

El resultado de la operación es el siguiente:

2) Enlazar dos rectas perpendiculares

Sean dos rectas perpendiculares dadas:

Si estas no se intersectan, las proyectaremos para lograr la intersección.

Ahora realizaremos paralelas a ambas rectas, de modo que la distancia sea la misma respecto a cada recta. Podemos realizar las paralelas con un radio base R para después medir la perpendicular entre las paralelas (N) o directamente con escuadra daremos una medida a la distancia respecto a las líneas. La intersección de estas paralelas nos darán los puntos o, a y c.

Haciendo centro en o y con la medida definida por el radio (N) o en la escuadra, dibujamos el arco de circunferencia el cual es el enlace pedido.

Procedemos a borrar las líneas innecesarias para terminar el enlace. El resultado de la operación es el siguiente:

Si queremos hacer las paralelas y dar una distancia definida N sin necesidad de usar la escuadra, debemos utilizar la paralela con distancia asignada ya vista en el apunte de trazados geométricos fundamentales.

3) Enlazar dos rectas o segmentos no paralelos

Sean dos rectas y/o segmentos no paralelos dados:

Si estas no se intersectan, proyectaremos una o ambas para lograr la intersección. La idea es obtener un ángulo entre ambas. Notamos que a los extremos del semento proyectado se le han asignado los puntos p y q.

Ahora realizamos la bisectriz de este ángulo. Con esto formaremos los puntos m, n y o.

Proyectamos la perpendicular al primer punto de la recta proyectada (p) de modo que la intersección entre esta y la línea de la bisectriz nos genere el punto r.

Haciendo centro en r y con radio pr, proyectamos un arco que irá desde el punto p hasta la recta.

Borramos las líneas innecesarias y obtenemos el resultado final:

4) Enlazar una recta con una curva

Sean una recta y una curva dadas:

Proyectamos la recta para iniciar el dibujo y lo mismo realizamos con la curva. En este último caso, definiremos el centro (c) y proyectaremos sus extremos, los cuales definen los puntos d y e. Su radio será R.

Realizaremos una línea paralela a la recta. Podemos realizar la paralela mediante geometría para definir una distancia X arbitraria o definir esta directamente con una escuadra.

Ahora debemos generar una curva paralela interior la cual se definirá tomando el centro de esta (punto c) y definiendo como radio R-X (radio de la curva menos la distancia X definida). La intersección de esta curva con la paralela a la recta nos genera el punto o.

Tomando como centro el punto o y como radio do, realizamos un arco que irá desde el punto d hasta la recta. Esto formará el enlace pedido.

Si es necesario, borramos las líneas innecesarias y obtenemos el resultado final:

5) Enlazar dos curvas

Sean dos curvas dadas:

Definimos el centro de las curvas y proyectamos sus extremos con este. Los radios de las curvas serán R1 y R2 respectivamente. En la curva más abierta definimos los puntos a y b ya que enlazaremos esta a la más cerrada.

Ahora asignaremos un radio R arbitrario y tomando como “centro” el centro de la primera curva (C1), dibujamos un arco el cual tendrá por radio R1+R.

Ahora repetiremos el proceso pero esta vez el radio será R2-R, y tomaremos como centro el punto C2. La idea es que los arcos se realicen en el mismo sentido (en el caso de la primera curva el arco paralelo está fuera de la curva, mientras que en la segunda este se encuentra dentro, cerca del centro) para formar el punto de intersección o.

Proyectamos los centros hacia el punto o formando los segmentos C1o y C2o.

Tomando como centro el punto o y como radio ao, realizamos un arco que irá desde el punto a hasta la intersección entre la curva C1 y el segmento C1o. Esto formará el enlace pedido.

Borramos las líneas innecesarias y obtenemos el resultado final:

El dominio y manejo de estos trazados fundamentales es la clave para realizar buenos dibujos técnicos, tanto si dibujamos a mano como también mediante software como AutoCAD.

Dibujo Técnico: Trazados geométricos fundamentales parte 2, tangencias

20/04/201828/09/2019 Carlos González L.

Definición de la tangente

Se define como tangente a una recta que se intersecta con un punto de una circunferencia, y que define un angulo recto entre la recta y el segmento proyectado entre el punto y el centro de esta. Podemos demostrar esto fácilmente si en el eje de coordenadas trazamos una circunferencia de radio 1, una recta que que esté en el lado positivo del eje X, parta desde el origen y forme un ángulo, y un trazo perpendicular a la recta que parta desde la intersección entre esta y la circunferencia:

Aplicando trigonimetría determinamos que el trazo ab es la tangente del ángulo ya que ao = 1, y por ende del punto “a” de la circunferencia. Por definición, la recta tangente es única para cada punto de la circunferencia.

En esta segunda parte de los trazados geométricos fundamentales realizaremos mediante instrumentos los trazados de tangencias genéricos que debemos dominar al iniciar el dibujo técnico de cualquier pieza, vista o proyecto de forma manual aunque también es válido para el dibujo en AutoCAD y/o práctica.

Las operaciones principales que realizaremos en esta oportunidad son:

1) Tangentes entre un punto y una circunferencia.
2) Tangentes externas entre dos circunferencias.
3) Tangentes internas entre dos circunferencias.
4) Circunferencia tangente a otras dos.

1) Trazar las tangentes entre un punto y una circunferencia

Sean el punto P y la circunferencia de centro C2 dados:

Unimos en un trazo el punto P con el centro de la circunferencia, y realizamos la simetral de este obteniendo el punto m.

Realizamos un círculo completo tomando como centro el punto m y como radio el trazo Pm. Con esto obtenemos los puntos a y b.

Los puntos a y b son los puntos de enlace pedidos, para terminar sólo bastará trazar las rectas entre cada punto y el punto P.

2) Trazar las tangentes externas entre dos círculos

Sean las circunferencias de centros C1 y C2 y radios R1 y R2 dadas:

Unimos ambos centros con un único trazo y realizamos la simetral de este, obteniendo el punto m.

Tomando como centro el punto de intersección entre el trazo y el círculo mayor (n), realizamos un arco el cual tendrá como radio el mismo del círculo 1 (R1). Esto nos permitirá definir el punto g.

Ahora realizaremos un círculo tomando como centro C2 y como radio el trazo gC2.

Realizamos un círculo completo tomando como centro el punto m y como radio el trazo C1m. Con esto obtenemos los puntos d y e.

Ahora proyectamos trazos entre los puntos C2, d y e de tal forma que estos intersecten al círculo mayor, y de esta manera obtenemos los puntos c y f los cuales son los puntos de enlace del círculo.

Lo que corresponde ahora es copiar las líneas en el círculo menor, de tal manera que se formen los puntos a y b y que los segmentos C1a y C2c sean paralelos, lo mismo en el caso de los segmentos C1b y C2f.

Finalmente trazamos las rectas entre los puntos a y c, y entre b y f para generar lo pedido.

3) Trazar las tangentes internas entre dos círculos

Sean las circunferencias de centros C1 y C2 y radios R1 y R2 dadas:

Unimos ambos centros con un único trazo y realizamos la simetral de este, obteniendo el punto m.

Realizamos un círculo completo tomando como centro el punto m y como radio el trazo C1m.

Ahora tomaremos como radio la suma de R1 y R2 (R1+R2), y realizamos un círculo tomando como centro el del círculo mayor (C2). Con esto obtenemos los puntos c y d.

Trazamos líneas entre los puntos C2, c y d. Esto nos permitirá obtener los puntos c’ y d’ que son los puntos de enlace para el círculo mayor.

Lo que corresponde ahora es copiar las líneas en el círculo menor, de tal manera que se formen los puntos a y b y que los segmentos C1a y C2d sean paralelos, lo mismo en el caso de los segmentos C1b y C2c. Los puntos a y b son los enlaces del círculo menor.

Finalmente trazamos las rectas entre los puntos a y d’, y entre b y c’ para generar lo pedido.

4) Trazar una circunferencia tangente a dos circunferencias

Sean las circunferencias de centros C1 y C2 y radios R1 y R2 dadas:

Asignamos un radio R cualquiera de tal modo que sea mayor que la mitad del espacio entre las circunferencias y haciendo centro en C1, realizamos un arco tomando como radio la suma entre R y el radio R1 del círculo menor (R1+R).

Repetimos el proceso pero esta vez haciendo centro en C2, en este caso realizamos el arco tomando como radio la suma entre el radio R2 del círculo mayor y R (R2+R). La intersección entre ambos arcos nos define el punto c.

Ahora trazamos una recta que irá desde el centro C2 hasta el punto c. Con esto formamos el punto a el cual es el punto de enlace del círculo mayor.

Trazamos otra recta que irá desde el centro C1 hasta el punto c. Con esto formamos el punto b el cual es el punto de enlace del círculo menor.

Finalmente, tomando como centro en el punto c y con radio cb (el cual es el radio R previamente definido), trazamos la circunferencia tangente pedida.

En la tercera parte de los trazados geométricos fundamentales realizaremos trazados de enlace, ya que estos están relacionados con los trazados básicos y con las tangencias vistas en este apunte.

Dibujo Técnico: Trazados geométricos fundamentales

17/04/201828/09/2019 Carlos González L.

En este nuevo apunte de dibujo realizaremos mediante instrumentos los trazados geométricos básicos que debemos dominar al iniciar el dibujo técnico de cualquier pieza, vista o proyecto de forma manual aunque también es válido para el dibujo en AutoCAD y/o práctica. Este tipo de trazados básicos son la clave para desarrollar trazos más complejos como tangencias y enlaces.

Las operaciones principales que realizaremos en esta primera parte del apunte son las siguientes:

1) Dividir un segmento en “N” partes iguales.
2) Copiar un ángulo.
3) Simetral o mediatriz de un segmento.
4) Bisectriz de un ángulo.
5) Perpendicularidad a partir de un punto conocido fuera del segmento.
6) Perpendicularidad en un punto cualquiera dentro de un segmento.
7) Paralelismo (recta paralela a otra), con o sin distancia asignada.
8) Arco capaz de un ángulo.

1) Dividir un segmento en partes iguales

La operación consiste en dividir de forma geométrica un segmento en “N” partes iguales sin necesidad de hacer cálculo alguno, no importando el largo o tamaño del segmento.

Sea el segmento AB dado:

Tomando como inicio el punto A, dibujaremos una recta de medida N (ampliable) en un ángulo cualquiera, de preferencia no tan cerca o “pegado” respecto del segmento AB (30° a 45° es lo recomendable).

Realizamos un arco de círculo tomando como centro el punto A de un radio X arbitrario.

Tomando como centro la intersección entre el arco y la recta, repetimos el mismo radio las veces que queramos dividir el segmento (en el ejemplo es 4).

Tomando el último punto de intersección entre el arco y la recta dibujaremos un segmento entre esta y el otro extremo del segmento AB (punto B).

Finalmente, realizamos rectas paralelas a la línea recién creada que pasen por la intersección entre cada arco y recta formando así los puntos 1, 2 y 3; y terminando la división del segmento.

2) Copiar un ángulo a un trazo o segmento

La operación consiste en hacer una copia fiel de un ángulo dado a un trazo o segmento ya establecido.

Sea un ángulo y el segmento AB dados:

Tomando como centro el inicio del ángulo generamos un arco de círculo de magnitud R de tal modo que intersecte a ambas rectas. Realizamos el mismo arco en el segmento tomando como centro el punto A. Se forman los puntos m y n en el ángulo.

Tomando como radio los puntos m y n (Q), realizamos un arco en el segmento AB tomando como centro la intersección entre el arco y el segmento. Con esto obtenemos el punto m.

Finalmente unimos el punto A con el punto m formado en el segmento AB, y ya tenemos el ángulo copiado.

3) Generar la mediatriz (simetral) de un segmento

La operación consiste en encontrar de forma geométrica el trazo perpendicular que a su vez marca el punto medio o la mitad de un trazo o segmento.

Sea el segmento AB dado:

Tomando como centro el punto A, realizamos un arco de círculo de tal modo que a simple vista sea mayor que la mitad del segmento, con un radio R arbitrario.

Repetimos el mismo proceso pero esta vez tomando como centro el punto B. Obtenemos los puntos c y d.

Finalmente unimos los puntos c y d para obtener la simetral o mediatriz y el punto m, que es la mitad del segmento.

4) Generar la bisectriz o bisectar un ángulo

La operación consiste en dividir de forma geométrica un ángulo dado en dos mitades, es decir, dos ángulos de igual medida que sumados nos dan el ángulo inicial.

Sea el ángulo ABC dado:

Tomando como centro el punto A, generamos un arco de círculo de magnitud R (arbitraria) de tal modo que intersecte a ambas rectas AC y AB. Obtenemos los puntos m y n en el ángulo.

Tomando como centro el punto m, generamos un arco de círculo de magnitud Q (arbitraria) de tal modo que ocupe el mayor espacio interno posible del ángulo o que intersecte a este. Obviamente, también podemos usar el primer radio (R) para realizar este procedimiento.

Repetimos el mismo proceso pero esta vez tomando como centro el punto n. Obtenemos el punto o.

Finalmente unimos los puntos A y o para obtener la bisectriz pedida.

5) Generar la perpendicular de un segmento que pase por un punto conocido fuera de este

La operación consiste en generar de forma geométrica una línea perpendicular al segmento y que a su vez pasa por un punto ya conocido fuera de este.

Sean el segmento AB y el punto P dados:

Tomando como centro el punto P y con un radio R dado, generamos un arco de tal modo que este intersecte con el segmento, formando los puntos m y n.

Tomando como centro el punto m y con un radio S de tal modo que este sea a simple vista mayor que la mitad del trazo mn, generamos un arco de circunferencia.

Repetimos el proceso pero esta vez tomamos el punto n como centro, obteniendo el punto t.

Finalmente unimos los puntos t y P para obtener la perpendicular pedida.

6) Generar la perpendicular a un punto cualquiera dentro de un segmento

La operación consiste en generar de forma geométrica una línea perpendicular al segmento y que a su vez pase por cualquier punto dentro de este, sin necesidad de un punto externo.

Sea el segmento AB dado:

En este caso generaremos la perpendicular en el punto A. Por ello, proyectamos el trazo AB hacia la izquierda de este.

Tomamos como centro el punto A y con un radio R dado, generamos una semicircunferencia de tal modo que esta intersecte entre las rectas.

Ahora tomamos como centro la primera intersección entre la proyección del trazo AB y el arco, y con un radio S dado generamos un arco para obtener el punto m.

Repetimos el proceso pero esta vez tomamos la otra intersección como centro, obteniendo el punto n.

Ahora tomamos como centro el punto m y con un radio T de tal modo que este sea mayor a la mitad del trazo mn, generamos un arco de circunferencia.

Repetimos el proceso pero esta vez tomamos el punto n como centro, obteniendo el punto o.

Finalmente unimos los puntos o y A para obtener la perpendicular pedida.

7) Generar la paralela a un segmento o recta

a) generar la paralela sin una distancia específica:

La operación consiste en generar de forma geométrica una línea paralela al segmento o la recta dada.

Sea el segmento AB dado:

Tomamos un punto cualquiera del segmento (puede ser el centro, por ejemplo) y desde allí generamos una semicircunferencia de tal modo que esta intersecte con el segmento, formando los puntos m y n.

Tomando como centro el punto m y con un radio S definido, definimos un arco de tal forma que intersecte al semicírculo ya creado, obteniendo el punto t.

Repetimos el proceso pero esta vez tomamos el punto n como centro, obteniendo el punto u.

Finalmente trazamos una línea entre los puntos t y u formando la línea paralela pedida. En este caso la distancia perpendicular entre ambas no es el radio S sino que es un valor un poco menor que este.

b) generar la paralela agisnando una distancia perpendicular específica entre ellas:

En este caso lo que haremos primero será realizar las perpendiculares en dos puntos cualquiera dentro del segmento (puntos m y n). Una vez obtenida la recta, debemos proyectarla hacia arriba.

Luego definimos un radio arbitrario (d), el cual será la distancia que asignaremos entre las líneas paralelas. Tomando como centro los puntos m y n y usando el radio d, realizamos arcos de circunferencia de tal modo que cada uno de estos intersecte a la recta perpendicular proyectada, formando los puntos de intersección t y u.

Unimos los puntos t y u y con ello obtenemos la paralela pedida, esta vez con una distancia perpendicular d asignada entre ellas.

8) Generar el arco capaz de un ángulo

La operación consiste en generar de forma geométrica un arco en el cual todos sus ángulos proyectados desde los extremos del segmento que lo contiene tengan el mismo valor del ángulo inicial. El arco capaz se define como el lugar geométrico de los vértices de los ángulos que tienen la misma amplitud y abarcan un mismo segmento.

Sean un ángulo de X° y un segmento AB dados:

Primeramente, realizaremos la simetral del trazo AB para obtener el punto m y posteriormente proyectaremos la perpendicular obtenida hacia arriba.

En el trazo copiaremos el ángulo Xº de tal forma que nos quede debajo del trazo AB con elpunto A como inicio de este.

Ahora generaremos la perpendicular en el ángulo Xº de tal forma que la proyección de la perpendicular se intersecte con la vertical de la simetral del segmento AB, obteniendo el punto o.

Finalmente, tomando como centro el punto o y con radio Ao, dibujamos un arco de circunferencia que intersecta a los puntos A y B. Este es el arco capaz del ángulo Xº pedido.

Podemos comprobar esto trazando ángulos hacia cualquiera de los puntos de este arco y tomando los puntos A y B como extremos de este, donde notamos que el valor de todos es Xº.

Otras relaciones importantes

Elementos notables de un triángulo:

Alturas: son los segmentos perpendiculares que van desde un vértice hacia el lado opuesto de este. Las alturas confluyen en un punto llamado Ortocentro (h) el cual puede estar dentro, coincidir con un vértice o fuera del triángulo según el tipo de triángulo.

De esto mismo podemos concluir que el Ortocentro (h) será externo en triángulos obtusángulos, coincidirá con el vértice del ángulo recto en caso de un triángulo rectángulo, y será interno si el triángulo es acutángulo.

Bisectriz: son las bisectrices de cada uno de los ángulos internos del triángulo. Las bisectrices confluyen en un punto llamado Incentro (I) el cual a su vez es el centro de la circunferencia que se inscribe en el interior del triángulo (circunferencia inscrita).

Por lógica el incentro (I) siempre está en el interior de triángulo, independiente de su tipo.

Simetral: son las simetrales o mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. Las simetrales confluyen en un punto llamado Circuncentro (o) el cual a su vez es el centro de la circunferencia que se circunscribe en el exterior del triángulo y por ende, está a igual distancia de cada vértice (circunferencia circunscrita).

El circuncentro puede estar dentro o fuera del triángulo según el tipo o forma de este.

Medianas: son los segmentos que van desde un vértice hacia el punto medio del lado opuesto de este. Las medianas confluyen en un punto llamado Baricentro o centro de gravedad (g).

La mediana divide el triángulo en dos triángulos más pequeños pero que tienen la misma área. En cada mediana, la distancia entre el baricentro y su punto de origen es 2/3 de la longitud total de la mediana respecto a la distancia entre el baricentro y el lado opuesto, que es el 1/3 restante.

En un segundo y tercer apunte veremos trazos más complejos como tangencias y enlaces de líneas y curvas.

Dibujo Técnico: tipos de perspectivas

01/05/201728/09/2019 Carlos González L.

Acerca de las perspectivas

Para la representación de objetos en el dibujo técnico se utilizan diversas proyecciones que se traducen en vistas de un objeto o proyecto, las cuales suelen ser los planos o vistas 3D que nos permiten la interpretación y construcción de este. El dibujo técnico consiste en esencia en representar de forma ortogonal varias vistas cuidadosamente escogidas, con las cuales es posible definir de forma precisa su forma, dimensiones y características. Además de las vistas tradicionales en 2D se utilizan proyecciones tridimensionales representadas en dos dimensiones llamadas perspectivas. Los cuatro tipos de perspectivas base son:

Isométrica (Perspectiva de tipo ortogonal)

Militar (Perspectiva de tipo oblicua)

Caballera (Perspectiva de tipo oblicua)

Cónica (Perspectiva de visión real monocular)

Algunas consideraciones generales sobre perspectivas

– La perspectiva isométrica describe el tamaño real de los objetos en sus dimensiones y es la base para la proyección ortogonal, sin embargo es una perspectiva «irreal» respecto a la percepción del ojo humano. Esta perspectiva nos permite representar de forma eficiente un objeto tridimensional en un espacio bidimensional como un plano o una hoja de papel.

– Las perspectivas militar y caballera son oblicuas y no ortogonales, por lo tanto en algunas de sus caras podremos ver las dimensiones reales pero en otras habrá distorsión la cual dependerá de lo que se quiera representar. Y también son perspectivas «irreales» en cuanto a la percepción del ojo humano.

– La perspectiva de tipo cónico NO define las dimensiones reales de los elementos pues hay distorsión de estas, ya que este tipo de perspectiva emula la percepción espacial del ojo humano.

La ciudad ideal (1475), obra de Piero della Francesca que nos muestr un ejemplo de perspectiva cónica.

Waterfall (1961), obra de M.C. Escher que nos muestra una perspectiva isométrica y de paso una de sus limitaciones.

Perspectiva cónica o de visión real

Es un sistema de representación gráfico basado en la proyección de un cuerpo tridimensional sobre un plano auxiliándose en rectas proyectantes que pasan por un punto de visión. El resultado se aproxima a la visión obtenida si el ojo humano estuviera situado en dicho punto. Se denomina «cónica» pues la proyección de las rectas proyectantes es en forma de cono, y es el principio base para artefactos como la cámara de fotos o de video.

Este tipo de perspectiva es la que más se aproxima a la visión real, y equivale a la imagen que observamos al mirar un objeto con un solo ojo (monocular). Nos permite percibir una profundidad espacial parecida a la visión estereoscópica o binocular. Actualmente esta perspectiva es la base de la mayoría de los programas de 3D como 3DSMAX o AutoCAD, y además del dibujo técnico y Arquitectónico se utiliza principalmente en la creación de videojuegos.

La base de este sistema se establece mediante la llamada “línea del horizonte” y las rectas proyectantes que convergen hacia uno, dos o tres puntos de fuga según sea el punto de vista del observador.

Para entender la perspectiva cónica debemos conocer los siguientes conceptos:

– Punto(s) de fuga, el cual es un punto al cual convergen las rectas proyectadas. Dependiendo del punto de vista pueden ser 1, 2 o 3 puntos.

– Punto de vista del observador desde el cual se observa la escena o el objeto.

– La «línea del horizonte» que representa la altura del horizonte (teóricamente es la división entre cielo y tierra) y de los ojos del observador mediante una línea horizontal. Dependiendo de la altura de esta el objeto estará visto desde arriba, constante (o frontal) o desde abajo.

Esto se puede resumir en el siguiente esquema:

Las perspectivas cónicas son de 3 tipos:

Perspectiva frontal o paralela: en esta perspectiva los objetos se sitúan con sus caras paralelas al plano del cuadro. Existe un único punto de fuga en la línea del horizonte que coincide con el punto principal.

Perspectiva oblicua o angular: en esta perspectiva el plano del cuadro se sitúa de forma oblicua respecto a las dos direcciones fundamentales, permaneciendo la tercera dirección vertical. En esta situación se originan dos puntos de fuga en la línea del horizonte.

Perspectiva aérea: en esta perspectiva el plano del cuadro se sitúa de forma oblicua respecto a las tres direcciones fundamentales. En esta perspectiva se originan tres puntos de fuga: dos en la línea del horizonte y un tercero en una vertical accesoria.

Ejemplos de uso de esta perspectiva:

Proyecto de edificio dibujado a mano mediante perspectiva cónica.

Palacio de la Asamblea en Chandigarh, obra de Le corcubiser, dibujado a mano mediante perspectiva cónica.

Doom (para PC), videojuego realizado utilizando la perspectiva cónica.

Halo 5, otro videojuego realizado utilizando la perspectiva cónica.

Perspectiva Isométrica

Es una forma de proyección gráfica o, más específicamente, una axonométrica (proyección medida mediante ejes X, Y y Z) cilíndrica ortogonal. Es una representación de un objeto tridimensional en dos dimensiones en la que los tres ejes de referencia tienen ángulos de 120º, y las dimensiones guardan la misma escala sobre cada uno de ellos. Por ende los 3 ejes X, Y y Z tiene la misma magnitud y escala.

La isometría es una de las formas de proyección más utilizadas en dibujo técnico ya que tiene la ventaja de permitir la representación a escala en sus tres dimensiones, pero que tiene la desventaja de no reflejar la percepción «real» del ojo humano. Sin embargo gracias a su versatilidad se utiliza para definir dibujos de Arquitectura o por ejemplo, en la creación de videojuegos.

Trazado de perspectiva isométrica:

El procedimiento tradicional de trazado consiste en dibujar el prisma que envuelve la pieza u objeto e ir eliminando material de la misma hasta obtener el objeto deseado, utilizando las medidas de las vistas y reproduciéndolas en cada eje. El prisma se dibuja usando ángulos de 30° para formar la base, y paralelas para definir la forma.

Usando la regla y el cartabón 30°-60° dibujamos la vertical:

Luego usando el ángulo de 30° del cartabón trazamos el segundo eje:

Invertimos el cartabón y tomando el punto de intersección de las rectas trazamos el eje final usando el mismo ángulo de 30°:

Trazamos las líneas paralelas respectivas para construir el prisma y definir la vista isométrica.

Nota: en el caso de la perspectiva isométrica, todas las caras “rectas” de una forma siempre se dibujarán paralelas a los ejes respectivos en los cuales se proyecta.

Si bien en la perspectiva isométrica podremos dibujar sus caras en verdadera magnitud y escala, tendremos un problema al representar los círculos ya que debido al ángulo de las caras no podemos representarlas en verdadera magnitud y forma sino que estos se verán como elipses, y por ello deben dibujarse mediante el método de Stevens o del paralelógramo.

Trazado de círculos usando el método de Stevens:

1) En la isométrica dada, ubicamos los puntos medios de la cara los cuales son: a, b, c y d.

2) Dibujamos las líneas que unen aquellos puntos.

3) En los ángulos mayores de la cara y partiendo de los puntos marcados en rojo, conectamos con el punto medio opuesto.

4) A partir de los mismos puntos conectamos el otro punto medio opuesto.

5) Los puntos marcados en rojo definirán los radios de los arcos desde “a hacia “b” y de “c” a “d”, ya definidos en celeste.

6) Tomando el punto marcado en rojo, trazamos el primer arco mayor desde “a” hacia “b”.

7) Tomando el siguiente punto trazamos el segundo arco desde “d” hacia “c” para terminar la representación.

8) Podemos repetir el método en las otras vistas para obtener todas las representaciones de círculos.

Ejemplos de uso de esta perspectiva:

Edificio dibujado en vista isométrica.

Zigurat Or-Nammu dibujado en vista isométrica.

Proyecto restauración de Palacio Pereira, corte dibujado en vista isométrica.

Wasteland 2, videojuego con vista isométrica.

Shadow Run Returns, otro videojuego con vista isométrica.

Perspectiva militar

Es una proyección axonométrica oblicua, un sistema de representación por medio de tres ejes cartesianos (X, Y, Z). En el dibujo, el eje Z es el vertical, mientras que los otros dos (X, Y) forman 90° entre sí, determinando el plano horizontal (suelo). Normalmente, el eje X se encuentra a 120° del eje Z, mientras que eje Y se encuentra a 150° de dicho eje. En el eje Z se suele reducir en una proporción de 1/2 o de 3/4.

La principal ventaja de esta perspectiva radica en que las distancias en el plano horizontal XY conservan sus dimensiones y proporciones. Las circunferencias en el plano horizontal se pueden trazar con compás sin ningún problema, pues no presentan deformación. Sin embargo, las circunferencias en los planos verticales se representan como elipses.

Trazado de perspectiva militar:

Mediante regla y cartabón de 30°-60° dibujamos la vertical:

Luego usando el ángulo de 30° del cartabón trazamos el segundo eje:

Invertimos el cartabón y tomando el punto de intersección de las rectas trazamos el eje final usando el ángulo de 60°:

Trazamos las líneas paralelas respectivas para construir el prisma y definir la vista militar.

Alternativa de trazado B:

mediante regla y escuadra de 45° dibujamos la vertical:

Luego usando el ángulo de 45° de la escuadra trazamos el segundo eje:

Invertimos la escuadra y tomando el punto de intersección de las rectas trazamos el eje final usando el mismo ángulo de 45°:

Trazamos las líneas paralelas respectivas para construir el prisma y definir la vista militar.

Ejemplos de uso de esta perspectiva:

Proyecto de edificio dibujado mediante perspectiva militar.

Prefabricated Buildings, proyecto dibujado mediante perspectiva militar (imagen tomada de https://proyectos4etsa.wordpress.com).

Ville La Roche de Lecorbusier, dibujada en perspectiva militar.

Un espacio interno visto en perspectiva militar.

Ville Savoie dibujada en perspectiva militar.

Perspectiva caballera

Es un sistema de representación axonométrica que utiliza la proyección paralela oblicua, en el que las dimensiones del plano proyectante frontal, como las de los elementos paralelos a él, están en verdadera magnitud. En perspectiva caballera, dos dimensiones del volumen a representar se proyectan en verdadera magnitud (el alto y el ancho) y la tercera (la profundidad) con un coeficiente de reducción. Las dos dimensiones sin distorsión angular con sus longitudes a escala son la anchura y altura (plano XZ) mientras que la dimensión que refleja la profundidad (Y) se reduce en una proporción determinada. 1:2, 2:3 o 3:4 suelen ser los coeficientes de reducción más habituales.

Se puede dibujar fácilmente un volumen a partir de una vista lateral o alzado, trazando a partir de cada vértice líneas paralelas al eje Y, para reflejar la profundidad del volumen.

Este tipo de proyección es frecuentemente utilizada por su facilidad de ejecución, aunque el resultado final no da una imagen tan real como la que se obtendría con una proyección cónica. También en algunos casos puntuales, esta perspectiva es utilizada para el diseño de videojuegos.

Trazado de perspectiva caballera:

Mediante regla y escuadra de 45° dibujamos la vertical:

Luego trazamos la perpendicular mediante una línea horizontal:

Invertimos la escuadra y tomando el punto de intersección de las rectas trazamos el eje final. en este caso el ángulo es variable:

Trazamos las líneas paralelas respectivas para construir el prisma y definir la vista caballera.

Ejemplos de uso de esta perspectiva:

Grabado del arquitecto Jacques Androuet Du Cerceau desarrollado en perspectiva caballera donde apreciamos la planta del palacio de las tullerías en la misma perspectiva.

Conjunto de edificios dibujados usando perspectiva caballera.

Grabado antiguo de edificio dibujado mediante perspectiva caballera.

Prince of Persia, 1999. Ejemplo de videojuego utilizando perspectiva caballera. Nótese que las plataformas donde corre el protagonista no tienen reducción, es decir, ambas medidas son iguales pero la percepción es que son más largas.

Prince of Persia classic. Ejemplo de videojuego utilizando perspectiva caballera.

Sunset Riders. Otro excelente ejemplo de videojuego utilizando perspectiva caballera.

Bibliografía utilizada:

– Instituto Nacional de Normalización, http://www.inn.cl
– Norma Chilena de Dibujo Técnico NCh2268.
– International Organization for Standarization, ISO: http://www.iso.org
– Web http://www.dibujotecnico.com

Dibujo Técnico: método de proyección ortogonal

01/05/201728/09/2019 Carlos González L.

Las proyecciones en el dibujo técnico

Como ya sabemos, en el dibujo técnico debemos utilizar un tipo de proyección específico para que podamos representar objetos tridimensionales en vistas bidimensionales manteniendo su verdadera magnitud y forma, ya que si los dibujáramos tal como lo percibimos con el ojo humano tendríamos distorsión y por ello serían imposibles de construir en la realidad.

Por esto mismo el tipo de proyección utilizado en el dibujo técnico son las proyecciones de tipo “ortogonal” (derivado de ortho=recto) la cual consiste en la inclusión dos o más planos paralelos u oblicuos que definen las dimensiones reales de los objetos y se convierten en «vistas» que luego se traspasan a escala en el plano. Este sistema se basa en una representación del espacio 3D mediante los ejes cartesianos X, Y y Z junto a un punto de origen, representado en una vista bidimensional llamada «isométrica»:

Sistema diédrico de proyección

En la proyección ortogonal la esencia de este se base en dos planos base: uno horizontal (PH) y el otro vertical (PV), los cuales se intersectan formando un ángulo recto. Al girarse en 90° el plano vertical hacia el horizontal obtenemos una representación bidimensional de estos planos limitados por la línea de corte entre ambos, o también llamada “línea de tierra”. Este sistema se denomina diédrico o de los dos diedros o planos.

Sobre estos dos planos ortogonales se representan los objetos que se encuentran dentro del espacio. Esta representación corresponderá a la proyección de la forma del objeto sobre cada plano mediante proyecciones perpendiculares respecto al plano en cual se proyecta. En la siguiente figura vemos la representación de un punto en ambos planos de proyección:

El mismo concepto utilizado para proyectar el punto se utiliza para proyectar la recta. Dependiendo de cómo esta esté posicionada se puede representar en un plano como punto, como proyección o en “verdadera magnitud”. Por lógica, si la recta se representa como punto en alguno de estos planos, en el otro estará en verdadera magnitud.

En el caso que la recta no se represente como punto en ninguno de los planos, esta no estará en verdadera magnitud. Por lo tanto, tendremos que agregar un plano extra que sea paralelo a la recta para verla en verdadera magnitud. En el esquema se muestra una representación de una recta diagonal en los planos horizontal y vertical.

Mediante estos conceptos básicos podremos representar una figura plana. También dependiendo de la posición en que esté el plano en el espacio este puede mostrarse como proyección, en “tamaño verdadero” o también de “canto” o filo ya que por lógica es imposible representar un plano como un punto. En el esquema de abajo la forma plana es paralela al plano vertical, lo cual implica que su proyección en este mostrará su verdadero tamaño y forma.

A diferencia de la recta en la cual su proyección como punto garantiza su verdadera magnitud, el que un plano esté de “canto” en uno de los planos no quiere decir que en el otro esté en tamaño verdadero, sino que dependerá si la figura plana es paralela o no al plano en que no se proyecta como canto. En el esquema se muestra una figura plana que no está paralela a ninguno de los planos, y por ello sería necesario agregar un plano paralelo al canto para obtener el verdadero tamaño de la figura:

Utilizando los conceptos anteriores podemos representar un volumen tridimensional en el espacio diédrico. En este caso por lógica no se puede representar de canto sino que las proyecciones siempre serán figuras planas. Dependiendo de la posición de la figura en el espacio y de su forma podremos ver todas las caras en tamaño verdadero, sólo algunas o incluso ninguna. En estos casos deberemos colocar planos auxiliares paralelos a la cara en la que queremos obtener su tamaño verdadero.

Ahora veremos como representar una recta y un volumen de acuerdo a su posición en el espacio o a su forma. En este caso tenemos una recta proyectada en el plano horizontal y vertical, pero se agrega un tercer plano vertical el cual es paralelo a la recta y al proyectarla en este obtenemos el tamaño verdadero de esta. Nótese el esquema del lado derecho donde el tercer plano está “plegado” hacia el lado derecho respecto al plano vertical.

Si observamos la figura anterior veremos que fue necesario agregar otro plano de proyección a fin de que nos permita tener una visión más completa de la figura para determinar su verdadera magnitud, a este tipo de proyección la llamaremos llamaremos triédrica o del tercer diedro. Lo mismo sucede con la forma tridimensional representada en el esquema siguiente:

Resumiendo, el sistema diédrico se basa en dos planos que al plegarse forman un ángulo recto (horizontal y vertical) donde se proyectan los objetos mientras que en el sistema triédrico es una variante del primero en que se agregan uno o más planos auxiliares, para revelar magnitudes o tamaños verdaderos según corresponda.

El sistema triédrico de proyección

Un sistema triédrico es aquel que nos permite representar las tres dimensiones de un objeto en un plano bidimensional, y está basado en el sistema diédrico. En el caso del sistema triédrico este nos permite al menos obtener una magnitud en verdadero tamaño y/o forma, mediante el uso de vistas auxiliares. Un sistema triédrico representa un objeto de la siguiente manera:

En este sistema las caras del objeto se proyectan tomando como referencia sus lados y puntos en 3 planos de base que generan las 3 dimensiones X, Y y Z representadas según los siguientes planos:

– El plano horizontal o de planta (verde)

– El plano vertical o de frente (rojo).

– El plano de perfil o vista lateral (azul).

Si proyectáramos líneas imaginarias desde los puntos principales del objeto hacia cada “cara” de cada plano virtual tendremos lo siguiente:

En este caso tenemos un sistema de proyección llamado Ortogonal donde la línea de vista del observador siempre será perpendicular a cada plano de representación y a las principales superficies del objeto representado.

Si desplegamos o abatimos los planos del ejemplo anterior notaremos que cada vista del objeto se puede representar en el espacio bidimensional y por ende, puede ser dibujado. Cada dibujo del objeto representado en un plano determinado se denomina Vista. Notaremos también que el tamaño verdadero de las diagonales del objeto sólo son visibles en el frente, pues en el perfil sólo vemos la “proyección” de estas.

Además de la representación tradicional, también podremos representar las líneas que habíamos proyectado antes ya que estas representarán las distancias en X, Y y Z en que el objeto “flota” respecto a cada plano. Es importante consignar además que para que esto funcione las vistas deben “calzar” entre sí, es decir, las distancias entre la planta, frente y perfil deben ser las mismas para que haya una correspondencia entre cada. Por esto mismo es que podemos representar en nuestro dibujo su respectivo calce mediante ángulos de 45° colocados entre cada línea proyectada y el espacio “vacío” o donde se abren los planos, de acuerdo al siguiente esquema:

A partir de esto también podemos representar en el perfil los agujeros que son visibles en la planta y el frente aunque en este caso, no podemos hacerlo directamente en esa vista pues realmente “no son visibles”, y por ello los representamos mediante segmentos ya que este tipo de líneas nos muestran elementos ocultos:

Como se aprecia en los esquemas, la gran ventaja del sistema de proyección ortogonal triédrica es que las formas del objeto se pueden representar de forma correcta en estos planos sin sufrir deformación ni distorsión ya que mantienen su verdadera magnitud (en escala), proporción y forma. Cada vista que se obtiene de este método conformará un plano. Estas pueden dibujarse todas en el mismo formato o una por cada hoja dependiendo de la escala, aunque en objetos no demasiado grandes se deben dibujar todas en la misma hoja.

Podemos realizar lo mismo para las caras restantes del objeto que nos dará un total de 6 vistas, ya que este sistema toma como base la inscripción de un objeto dentro de un cubo virtual el cual obviamente tiene 6 caras.

Vistas principales de un objeto

Como ya vimos antes, se denominan vistas principales de un objeto a las proyecciones ortogonales del mismo sobre seis planos dispuestos en forma de cubo. También se definen de esta forma a las proyecciones ortogonales de un objeto, según las distintas direcciones desde donde se le mire.

Las vistas principales que necesitamos para definir un objeto usualmente son las tres ya predefinidas del sistema triédrico: Planta, Frente y un Perfil. Pero como se dijo antes, los sistemas de proyección ortogonal se basan en un cubo virtual y por ello, las 6 vistas que se extraen de aquel se denominan:

– Vista superior o planta.
– Frente o Alzado.
– Perfil izquierdo.
– Perfil Derecho.
– Vista posterior o trasera.
– Vista inferior o planta cenital.

Métodos de proyección

En cuanto a métodos de proyección ortogonal en un plano o papel, según las normas de dibujo técnico tenemos dos métodos o sistemas de proyección los cuales son:

– ISO-E, el cual es el sistema Europeo que adopta el sistema métrico decimal como unidad de medida, y cuyo símbolo es el visto en la imagen de abajo:

– ISO-A, el cual es el sistema Americano que adopta la pulgada (1’’=2,54 cms) como unidad de medida, y cuyo símbolo es el visto en la imagen de abajo:

En Chile, el INN (Instituto Nacional de Normalización) ha definido que los planos de dibujo técnico se dibujen según el método ISO-E.

Los sistemas de proyección ISO-E e ISO-A se pueden representar mediante el siguiente esquema:

En Verde tenemos el sistema ISO-E y en Rojo el sistema ISO-A. En el sistema ISO-E las vistas se proyectan detrás de las caras del objeto, mientras que en ISO-A se proyectan delante de estas.

Si desplegamos el cubo virtual en ambos sistemas tenemos lo siguiente:

Sistema diédrico ISO-A. Notamos que en este tipo de proyección las vistas se proyectan delante del objeto, y por ende la planta queda arriba respecto a la vista de frente. Además notamos que el perfil Izquierdo queda en el lado izquierdo, mientras que el perfil derecho queda en el lado derecho.

Sistema diédrico ISO-E. Notamos que en este tipo de proyección las vistas se proyectan detrás del objeto, y por ende la planta queda abajo respecto a la vista de frente. Además notamos que el perfil Izquierdo queda en el lado derecho, mientras que el perfil derecho queda en el lado izquierdo.

Como se observó en los esquemas anteriores, existe una correspondencia obligada entre las diferentes vistas. Así estarán relacionadas:

a) El alzado (frente), la planta, la vista inferior y la vista posterior, coinciden en anchuras.

b) El alzado, la vista lateral derecha, la vista lateral izquierda y la vista posterior, coinciden en alturas.

c) La planta, la vista lateral izquierda, la vista lateral derecha y la vista inferior, coinciden en profundidad.

Ejemplo de aplicación

Como ya sabemos, para definir un objeto nos basta definir las tres vistas básicas de este: planta, frente y algún perfil. Teniendo en cuenta las correspondencias anteriores ya vistas, implicarían que dadas dos vistas correspondientes cualquiera, se podría obtener la tercera o la cuarta sin mayor problema e incluso podremos definirlas todas con sólo una o dos vistas isométricas del objeto. Por ejemplo, dada la siguiente figura:

Sus vistas principales (frente, planta y perfiles) serían las del ejemplo de abajo:

Deducción de cuatro vistas de la figura anterior utilizando el sistema ISO-E.

Ahora bien, para deducir las vistas de la figura y representarla correctamente en el dibujo debemos saber al menos las medidas de las vistas a deducir de la figura y la vista de “frente”. Si hay alguna perforación en la figura usualmente se coloca la leyenda “pasa”. Volviendo a nuestra figura de ejemplo, para proceder a deducir las vistas de ella debemos hacer lo siguiente:

Lo primero que haremos será analizar o tomar las medidas del objeto a dibujar y realizamos un croquis de las vistas del objeto que se nos ha dado. Si se está confundido o no se puede dibujar el boceto a simple vista, un buen consejo es ir pintando cada “cara” donde indicamos lo que se “verá” en la vista definitiva que dibujaremos, de acuerdo a los siguientes esquemas:

Pintando los elementos visibles del frente de la figura.

Pintando los elementos visibles de la planta de la figura.

Pintando los elementos visibles del perfil de la figura.

En estos casos siempre es bueno dibujar un esquema previo a mano alzada de más o menos cómo se verán las vistas pedidas ya que así tenemos una idea precisa de lo que se representará de forma geométrica y nos evitará confusiones a futuro.

Esquema previo de las vistas de la figura, dibujado con plumón y a mano alzada.

Ahora dibujaremos en el formato dos líneas perpendiculares y ortogonales. Estos serán nuestros “planos” de referencia los cuales denominaremos como PH (Plano Horizontal, PV (Plano Vertical) y PI (Perfil Izquierdo). En este caso optaremos por realizar el dibujo mediante el sistema ISO-E ya que es el que usamos por defecto. El último cuadrante no se ocupa por el momento pues lo utilizaremos para definir la última vista mediante radios.

En base al frente que nos indique la referencia, realizaremos líneas de referencia paralelas a los ejes X e Y tomando en consideración las medidas principales del objeto A, B y C. Estas medidas ya están dadas de antemano. B y C corresponden al ancho y la altura del frente respectivamente:

Antes de posicionar nuestro dibujo en el “espacio” bidimensional, debemos tomar distancias arbitrarias las cuales llamaremos X1, X2 e Y1. En el caso de X1 y X2 estas serán paralelas al eje X mientras que Y1 será paralela al eje Y y deberá pasar por los planos PH y PV. En el plano PH y desde X1 tomaremos en cuenta la medida A, en el plano PV y tomando como referencia el punto de intersección de X2 e Y1 determinamos las medidas B y C (recordemos que en este plano se dibujará el frente de la figura):

Ahora prodecemos a medir los detalles internos y otra medidas específicas de la referencia y procedemos de la misma forma anterior, dibujando líneas paralelas y traspasándolas a PH y PV.

Nota especial: en la proyección ortogonal las líneas SIEMPRE deberán ser paralelas a los ejes adyacentes y proyectarse de forma perpendicular al eje opuesto.

Ahora medimos la distancia M y la colocamos en la vista.

Trazamos el dibujo del frente ya que es el más fácil de definir. Generamos la diagonal y la línea segmentada de atrás. Si queremos, valorizamos el dibujo para terminar el frente. Tomaremos el punto de intersección (marcado en verde) y proyectaremos una línea hacia la planta. Esto es importante pues nos permitirá dibujar el corte de la diagonal en la planta.

Esta línea vertical definirá el corte visto desde la planta. Procedemos a terminar la vista en planta valorizando los elementos cercanos con un trazo más grueso y agregamos las líneas segmentadas y de centro que representarán el cilindro que perfora el volumen.

Ahora definiremos la tercera vista. Para ello debemos repetir la magnitud X1 en la vertical de PI, y luego las proyecciones paralelas siguientes. Lo que haremos será realizar mediante un compás un arco de ¼ de círculo siempre tomando como centro el punto de intersección de los planos (1), y trazando desde el punto de intersección de las proyecciones horizontales de la planta con la línea base vertical Y (2) para finalmente mediante este arco llegar a la línea horizontal base X (3).

Para el caso de las proyecciones horizontales del frente, bastará que se extiendan hacia el plano PI.

Otra alternativa para determinar estas distancias es generar ángulos de 45° tomando como ángulo recto el punto de origen y las proyecciones horizontales como catetos (para esto debemos utilizar la escuadra de 45°).

Ahora procedemos de la misma forma que hicimos con la vista de planta y el frente, extendiendo las líneas horizontales de PV hacia PI y dibujando líneas perpendiculares a estas que tendrán como inicio el final de los arcos dibujados anteriormente.

Repetiremos esto en TODAS las proyecciones para dejar definidas las líneas auxiliares para construir el perfil izquierdo.

Tomamos la referencia y procedemos a definir los elementos del perfil según las caras más cercanas, las líneas ocultas y las líneas que indiquen el centro. Valorizamos el dibujo y con esto ya tendremos definida la tercera vista.

Para definir la siguiente vista lateral, procedemos de la misma manera pero crearemos un plano mediante una línea vertical llamado PD en el lado izquierdo. Este será nuestro perfil Derecho, y repetimos todo el proceso nuevamente.

De este proceso de proyección podemos concluir que el orden de las vistas no debe ser arbitrario, ya que aunque una vista aislada esté dibujada de forma correcta si las vistas no están situadas de manera alineada no definirán el objeto de forma precisa.

Bibliografía utilizada:

Dibujo Técnico: la escala y sus aplicaciones

30/03/201728/09/2019 Carlos González L.

La escala de los planos

Como ya sabemos, si dibujamos un proyecto de arquitectura o un objeto grande es imposible que lo podamos hacer “a tamaño real” pues los formatos de papel son limitados a un ancho máximo de 1,2 mts, y además por razones prácticas (tamaño, peso, transporte y portabilidad) y de lectura es inviable.

Plano en tamaño real de Vardehaugen. A pesar de ser un concepto muy interesante y bonito de apreciar, nos muestra el problema de “dibujar” un proyecto en su tamaño verdadero.

Si por el contrario dibujamos un objeto muy pequeño en un papel tenemos un problema similar, ya que su pequeñísimo tamaño lo haría prácticamente imperceptible por parte del constructor o del operador de la máquina, y evidentemente no podría ser fabricado.

Piezas de un reloj de pulsera. Si las dibujásemos en su tamaño natural en un formato de dibujo técnico estas serían de tamaños demasiado pequeños para que el constructor o ejecutante pueda apreciar los detalles o medidas de estos.

A partir de lo anterior y para la correcta interpretación de los elementos y de los planos de un proyecto, debemos tener en cuenta algunas convenciones al respecto. Una de las más importantes es el concepto de Escala gráfica o Escala.

¿Qué es una escala?

La escala se define como una relación numérica proporcional que nos permite relacionar los tamaños o dimensiones reales y verdaderas de los objetos a sus respectivas representaciones, dibujos o imágenes en un formato determinado de papel, ya que este último tiene un tamaño específico y normalizado además de ser apto para la correcta lectura por parte de una sola persona. Por esto mismo es que el uso de la “escala” nos permitirá representar lo siguiente:

a) Un proyecto que en la realidad es bastante grande, como por ejemplo un edificio o una casa.

b) Un elemento que es demasiado pequeño, como por ejemplo el engranaje de un reloj.

c) Un elemento que está en el mismo tamaño respecto al formato y por ello no necesita ser ampliado ni reducido, como por ejemplo una botella pequeña.

La escala también nos permite representar un proyecto, objeto o un vehículo de forma tridimensional que puede ser en mayor, menor o igual tamaño que el real. Esta representación se conoce como modelo o también maqueta. En las imágenes siguientes vemos ejemplos de uso del concepto de escala.

Modelo de automóvil a escala 1:24. Esto quiere decir que el modelo se ha reducido 24 veces respecto del tamaño del vehículo real.

Maqueta de proyecto de Arquitectura en escala 1:50, en este caso la recucción es de 50 veces respecto al proyecto real (imagen tomada de http://arquimaqueta.com/maqueta-arquitectura-valencia-biblioteca/).

Mug (tazón) oficial de Airbus, en escala 1:1. En este caso el tamaño es apto para ser representado tanto en papel como en formato tridimensional, sin necesidad de hacer ajuste de tamaño alguno.

En resumen, la escala es una relación de ajuste de tamaño proporcional que nos permite representar en un formato pequeño una superficie u objeto de gran tamaño o en el caso inverso, un objeto muy pequeño en una superficie grande.

La escala se representa en el plano de la siguiente manera:

1:X o X:1

Este valor puede leerse como: “1 es a X” o también como “1 a X”. En el segundo caso se lee como “X es a 1” o “X a 1”. El valor de la izquierda representará al valor equivalente en el dibujo, mientras el de la derecha será el valor en la realidad.

Podremos medir u obtener relaciones de tamaño o escalas utilizando un instrumento especial llamado escalímetro, el cual es una especie de regla graduada la cual contiene varias equivalencias de escalas, comúnmente las más utilizadas en Arquitectura e ingeniería.

Escalímetro. Un escalímetro nos permite determinar de forma inmediata la medida de una magnitud en una escala determinada, sin hacer cálculos.

De esto podemos desprender que el término “escala” se refiere a la relación del dibujo con la medida utilizada, es decir, el grado de detalle que se requerirá en cada plano tiene una relación matemática entre los centímetros que se dibujen en el formato y los milímetros, metros o kilómetros que se quieren representar en este.

Las escalas pueden ser de tres tipos:

1- Natural.
2- De ampliación.
3- De reducción.

La escala Natural hace referencia al tamaño real del objeto, es decir, la escala 1:1. En este caso los objetos se pueden dibujar en su tamaño real sin mayor problema ya que su tamaño calza perfectamente con el formato a utilizar para su dibujo. En esta escala no hay reducción o ampliación de ningún tipo.

Un marcador de pizara y una botella de 591 cc. Ambos son ejemplos de objetos que pueden dibujarse en escala 1:1 o natural en cualquier formato de dibujo técnico (A4 en adelante).

La escala será de ampliación cuando X:1. Esto quiere decir que el objeto a representar en el dibujo es demasiado pequeño para que sea dibujado en su tamaño “real”, y por ello será más grande en el dibujo, dependiendo del valor que demos a X.

Ejemplo: 10:1, esto quiere decir que 10 cms del dibujo equivaldrán a 1 cm real.

Engranajes de un reloj de pulsera. Estos son demasiado pequeños para que puedan ser dibujados en un formato, por lo tanto se deben representar mediante escala de ampliación. En el segundo ejemplo tenemos un dibujo del tren de engranajes (tomada de https://watch-test.com/tecnica-ejemplo-de-calculo-de-un-tren-de-engranajes-i-introduccion/)

Pieza ampliada a escala 2:1. Nótese que a pesar de la ampliación de la escala del dibujo, las cotas o dimensiones son siempre las del tamaño real de la pieza.

La escala será de reducción cuando 1:X. Esto quiere decir que el objeto a representar en el dibujo es demasiado grande para que sea dibujado en su tamaño “real”, y por ello será más pequeño en el dibujo.

Ejemplo: 1:100, esto quiere decir que 1 cm del dibujo equivaldrá a 100 cms reales.

Edificio de departamentos y un automóvil Toyota Prius 2010. En estos casos ambos son demasiado grandes para poder representarse en escala natural, por lo que se debe usar la escala de reducción para dibujarlos en un formato.

Para el caso del dibujo técnico de proyectos de Arquitectura, detalles constructivos y planos de comunas o regiones siempre utilizaremos la escala de reducción.

Escalas en Arquitectura

Las escalas más utilizadas en Arquitectura, ingeniería y construcción son las siguientes:

Planos a gran escala (regiones, comunas, etc.)	Planos de emplazamiento y ubicación	Planos de Arquitectura	Detalles constructivos y corte escantillón
1:10.000	1:500	1:100	1:25
1:5.000	1:250	1:75	1:20
1:2.000	1:200	1:50	1:10
1:1.000			1:5
			1:1

Debemos mencionar que el factor de reducción o ampliación de la escala influirá en cuántos detalles debemos aplicar a los dibujos. Si la escala es de reducción y el valor derecho es más pequeño, el dibujo será más grande y por ello deberá ir con mayor detalle.

Cortes escantillón en escala 1:5.

En cambio, si el valor es más grande el dibujo será más pequeño en el formato y por ello debe ir con menos detalle, de forma similar a cuando nos acercamos o alejamos desde un objeto ya que al observarlo desde lejos, nuestros ojos lo perciben con menor detalle y viceversa.

Plano regulador de la ciudad de Concepción, en escala 1:20.000.

Detallando objetos en diferentes escalas

En este ejemplo vemos claramente el cómo se debe detallar un objeto en diferentes escalas. Mientras en 1:200 la persona se verá como un contorno que la define como tal, en 1:100 aparecen detalles propios como brazos y objetos mientras que en la escala 1:50 aparece el detalle específico de esta como el pelo, ropa, etc. Notaremos el detalle casi inexistente en la escala 1:200 ya que sólo es un contorno, pero sin embargo en las 3 escalas el dibujo siempre el objeto se define como “persona”.

Cálculo de la escala de forma manual

El cálculo de la escala consiste simplemente en saber cuánto medirá una o más magnitudes reales del proyecto en nuestro dibujo, sin necesidad de usar el escalímetro. En el caso de la Arquitectura y la construcción la escala siempre estará expresada en centímetros. La forma en que podemos calcular la escala es la siguiente:

Magnitud real (expresada en cm) / Escala pedida (expresada en cm)

Por esto mismo es que debemos considerar que nuestra magnitud medida o proyectada SIEMPRE debe ser convertida a centímetro, independiente de la unidad de medida que esta tenga.

Ahora bien, también nos puede pasar que se nos entregue un plano y no sepamos a qué escala este se encuentra. Para realizar esto basta tomar una medida de referencia standard como puede ser un ancho de puerta, un largo de cama o alguna otra similar y luego realizar la división respectiva.

Conversiones y equivalencias

Finalmente no debemos olvidar que cuando trabajamos con escala y sobre todo si dibujamos a mano, es necesario saber lo siguiente:

1 Metro (mt) = 100 centímetros (cm).
1 Centímetro (cm) = 10 milímetros (mm).

Por lo tanto, podemos convertir a otras unidades realizando las siguientes operaciones:

– Convertir de mt a cm: multiplicamos por 100.
– Convertir de cm a mm: multiplicamos por 10.
– Convertir de cm a mt: dividimos por 100.
– Convertir de mm a cm: dividimos por 10.

Otra cosa importante que no debemos olvidar (si trabajamos a mano) es que la regla tiene una medida mínima de lectura y por lo tanto, debemos aproximar el valor obtenido a partir del cálculo a la unidad más cercana de esta. Respecto a esta última es importante conocer lo siguiente:

1 Centímetro (cm) = 10 milímetros (mm).
0,1 Centímetros (cm) = 1 milímetro (mm).
0,05 Centímetros (cm) = 0,5 milímetros (mm).

Donde 0,5 mm es la unidad mínima que puede ser leída y medida con la regla.

Regla metálica en detalle mostrando la medida mínima de medio milímetro (0.05 cm) que puede ser registrada a simple vista.

Ejemplo de dibujo de una fachada de sala realizado a mano, utilizando aproximaciones y tomando como base la medida mínima de 0.05 mm de la regla.

Elección de escalas en un plano

La elección de la escala correcta dependerá en gran medida de la complejidad del proyecto o elemento que se represente en el dibujo y del propósito de la representación. Sin embargo, la idea es que esta escala sea lo suficientemente grande para permitir una fácil intepretación del contenido o información del dibujo. En resumen, es el tamaño y las dimensiones del proyecto o elemento lo que decidirán la escala del dibujo final.

Plano de emplazamiento y planta del terminal intermodal de La Cisterna, en escala 1:500. Nótese la envergadura de la obra la cual prácticamente ocupa toda una cuadra y por ello la escala elegida es 1:500, ya que el dibujo completo cabe en un formato A0.

Planta del segundo piso y cortes del terminal intermodal de La Cisterna, esta vez en escala 1:200. Al ser planos de Arquitectura se debe mostrar el proyecto en mayor detalle pero se elige la escala 1:200 puesto que 1:100 sería demasiado grande para que el dibujo cupiera en el formato A0, debido a las enormes dimensiones del proyecto.

Planta de un piso de una vivienda. En este caso las dimensiones generales del proyecto permiten representarlo de forma óptima en escala 1:50. Si lo hiciéramos en escala 1:25, el formato sería demasiado grande como para leer de forma óptima el plano tomando en cuenta la envergadura del proyecto ya que en el caso de las viviendas básicas, se suelen dibujar todos los planos de Arquitectura en uno o dos formatos como máximo.

Fachada de una vivienda. En este caso se elige la escala 1:50 por la misma razón anterior aunque en la fachada también se muestran los tramados de los materiales que componen el proyecto.

Los detalles que no puedan verse de forma clara en la representación principal, deberán dibujarse en una escala mayor cercana a esta. En el caso del dibujo de Arquitectura la escala se aplica de diferentes formas según el tipo de dibujo, aunque por norma general los planos de Arquitectura van siempre en la misma escala, mientras que los de detalles van a una escala mayor y usualmente en láminas o formatos separados.

Ejemplos de aplicación

– Ejercicio 1: determinar en escala 1:100, 1:50 y en 1:25 una pared que mide 2 mts de largo y 0,2 mts de grosor.

Solución: si la pared mide 2,0 mts de largo, primeramente convertiremos este a su equivalente en cms. Entonces:

2,0 x 100 = 200 cms, ya que 1 mt = 100 cms.

Realizamos lo mismo con el grosor de 0,2 mt. Entonces:

0,2 x 100 = 20 cms.

Ahora, la operación que realizaremos para calcular las magnitudes en escala 1:100 será:

200:100 = 2 cms.
20:100 = 0,2 cms.

La operación que realizaremos para calcular las magnitudes en escala 1:50 será:

200:50 = 4 cms.
20:50 = 0,4 cms.

Finalmente la operación que realizaremos para calcular las magnitudes en escala 1:25 será:

200:25 = 8 cms.
20:25 = 0,8 cms.

Las tres magnitudes se representarán de la siguiente manera en nuestro dibujo:

– Ejercicio 2: calcular la escala aproximada de un dibujo si el ancho de la puerta interior mide 3,5 cms.

Solución: según normativa un ancho de puerta mide unos 70 cms. A partir de este dato debemos dividir el ancho standard por el de la medida del dibujo. Entonces la operación que realizamos es:

70:3,5 = 20

Por lo tanto, la escala del dibujo pedida es aproximadamente 1:20.

– Ejercicio 3: dibujar a mano, en escala 1:50 y en 1:100, un muro de largo 3,76 mt.

Solución: haciendo las conversiones respectivas en 1:50 tenemos lo siguiente:

376:50 = 7,52 cm.

Como la unidad es 0,02 y lo mínimo que mide la regla es 0,05 cms, la magnitud medirá en nuestro dibujo a mano 7,5 cm.

En el caso de la escala 1:100, la operación a realizar es:

376:100 = 3,76 cm.

Como la unidad es 0,06 y lo mínimo que mide la regla es 0,05 cms, la magnitud medirá en nuestro dibujo a mano 3,8 cm.

Bibliografía utilizada:

– Instituto Nacional de Normalización, http://www.inn.cl
– Norma Chilena de Dibujo Técnico NCh1471-1993.
– International Organization for Standarization, ISO: http://www.iso.org
– Web http://www.dibujotecnico.com
– Imágenes del terminal intermodal de La Cisterna: http://www.montealegre-beach-arquitectos.cl/